Von Kaninchen bis Chaos

Von Kaninchen, zu Fibonacci und unserem Zahlensystem
1202: Liber Abaci

Ein Kaninchenpaar, das tut, was Kaninchen tun, produziert weitere Kaninchen. Aber wie viele? Ein allgemeines Problem zu lösen, kann schwierig sein; Einschränkungen und spezifische Annahmen können daher helfen zu klären, worum es bei dem Problem eigentlich geht. Es ist jedoch wichtig, diese Einschränkungen und Annahmen klar zu definieren, um herauszufinden, wie gut sie die weniger leicht zu vereinfachenden Probleme der wirklichen Welt widerspiegeln, von denen sie inspiriert wurden.
Daher wollen wir das Problem auf die Frage einschränken: Wie viele Kaninchenpaare gibt es nach einem Jahr, wenn es zu Jahresanfang ein einzelnes Paar gab? Und wir nehmen an, dass jedes Kaninchenpaar jeden Monat ein neues Paar produziert (aber neue Paare können sich erst dann fortpflanzen, wenn sie geschlechtsreif sind, was einen Monat dauert). Dieses Problem stammt aus dem dritten Abschnitt des Buches Liber Abaci (Buch der Berechnungen, 1202), verfasst von Leonardo von Pisa (ca. 1170 – ca. 1250).

Das Problem mit seinen Einschränkungen und Annahmen mag vielleicht auf den ersten Blick nicht mehr viel mit der Wirklichkeit zu tun haben. Durch Vereinfachung eines Problems lässt sich jedoch ein mathematisches Modell entwickeln, das dann, wenn die Grundlagen einmal verstanden sind, weiterentwickelt werden kann, um reale Situationen besser abzubilden – etwas, das zuvor schwierig, wenn nicht gar unmöglich gewesen wäre. Überdies hat sich bereits des Öfteren herausgestellt, dass Lösungen für Probleme, die völlig aus ihrem realen Zusammenhang gelöst wurden, auf eine ganze Reihe von Situationen anwendbar sind, die ganz anders aussehen als das ursprüngliche Problem. Dieses als «Abstraktion» bekannte Konzept ist statt einer Schwäche der Mathematik eine ihrer Superkräfte.

Leonardo von Pisa geht das Kaninchenproblem systematisch an. Er fragt sich, wie viele Kaninchenpaare in jedem Monat existieren. Im ersten Monat gibt es ein einziges Kaninchenpaar. Dieses kann sich noch nicht fortpflanzen, so bleibt es auch im zweiten Monat das einzige Paar. Im dritten Monat hat sich das Paar jedoch fortgepflanzt, sodass es nun zwei Kaninchenpaare gibt. Im vierten Monat produziert das erste Paar ein weiteres Paar, das zweite Paar kann sich noch nicht fortpflanzen, also gibt es drei Kaninchenpaare. Im fünften Monat können sich das erste und das zweite Paar fortpflanzen (womit zwei weitere Paare hinzukommen), das dritte Paar ist noch nicht alt genug zur Fortpflanzung: Nun gibt es fünf Kaninchenpaare. Im sechsten Monat beginnen wir mit fünf Kaninchenpaaren, von denen drei jeweils ein weiteres Paar produzieren können. Und so weiter! Folgt man dem Gedankengang, so ergibt sich eine Folge von Zahlen, die angeben, wie viele Kaninchenpaare wir in jedem Folgemonat haben: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 …

Die zwölfte Zahl in dieser Liste ist 144, also lautet die Antwort auf die Eingangsfrage «Wie viele Kaninchenpaare gibt es nach einem Jahr?» 144. Das ist jedoch weniger interessant als die Liste der Zahlen selbst: Manche Leserinnen und Leser mögen sie erkennen. Die Liste lässt sich relativ leicht fortsetzen, wenn man sich klarmacht, dass jede Zahl (oder jeder «Term») in der Liste gleich der Summe der beiden vorangegangenen Terme ist.

Leonardo von Pisas Vater war ein italienischer Händler namens Guglielmo Bonacci, daher ist Leonardo der Sohn von Bonacci oder filius Bonacci auf Italienisch, was von einem Historiker 1838 zu «Fibonacci» verkürzt wurde; unter diesem Namen ist der Verfasser des Liber Abaci heutzutage allgemein bekannt, und darum wird die obige Liste von Zahlen auch als Fibonacci-Folge bezeichnet. Die Terme, aus denen diese Folge besteht, heißen Fibonacci-Zahlen, und sie haben einen besonderen Namen erhalten, weil die Folge und ihre Terme die Gewohnheit haben, in unerwarteten Situationen aufzutauchen, besonders bei natürlichen Objekten und Phänomenen.

So variiert die Anzahl der Blütenblätter bei Pflanzen in der Regel von Art zu Art, doch es handelt sich gewöhnlich um eine Fibonacci-Zahl. Auch auf verschiedenen anderen Gebieten sind Fibonacci-Zahlen von Nutzen, darunter Architektur und Ingenieurwesen. Sein Buch war auch ein Katalysator für einen grundlegenden Wandel der damals in Europa verwendeten Zahlensysteme. Auch wenn das Römische Reich im 5. Jahrhundert zerfallen war, war das römische Zahlensystem zu Fibonaccis Zeiten noch immer das vorherrschende System in Europa. Auf seiner Reise in Regionen rund um das Mittelmeer begeisterte sich Fibonacci für die «wunderbare Einweisung in die Kunst der neun indischen Ziffern», die sich aus einem altindischen System entwickelt hatten und in der arabischen Welt erstmals von al-Chwarizmi um 825 n. Chr. in einem Werk beschrieben wurden, das auf al-Jabr folgte. Zu der Zeit, als Fibonacci das System kennenlernte, hatte es sich zu einem Satz von neun Symbolen entwickelt, die unseren modernen (indisch-arabischen) Ziffern 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 und 9 sehr nahekommen, ergänzt durch «das Zeichen 0, das die Araber:innen Zephir nennen», der Ursprung unseres Wortes «Ziffer». Fibonacci führt sein System zu Anfang des Buches ein und erklärt es, empfiehlt seinen Gebrauch und verwendet es dann im ganzen Buch, um dessen Vorteile gegenüber dem römischen Zahlensystem bei kommerziellen Anwendungen und bei der Lösung verschiedener mathematischer Probleme zu belegen, darunter auch eines, in dem es um Kaninchen geht.

Das Liber Abaci war nicht der einzige Weg, auf dem die indisch-arabischen Zahlen nach Europa gelangten, doch es war früh und einflussreich. Dieses neue System fand nicht sofort weite Verbreitung; vielmehr breitete es sich nur allmählich im Lauf der nächsten 250 Jahre als praktische arithmetische Methoden in ganz Europa aus. Eine deutliche Ausnahme machte England, wo das neue System erst gegen Ende des 16. Jahrhunderts Fuß fasste.

Erkennen Sie die Symbole? 
1557: The Whetstone of Witte

Robert Recorde verfeinerte seine in The Ground of Arts begonnenen Arbeiten weiter und veröffentlichte 1557 einen zweiten Band mit dem Titel The Whetstone of Witte (Der Wetzstein von Witte). Darin untersucht er Quadrat- und Kubikzahlen mit der «Extraktion» von Wurzeln (der Umkehrung des Quadrierens und zur dritten Potenz Erhebens).
Das Buch enthält auch eine Einführung in das, was Recorde «The Arte of Cossike nombers» (Die Kunst der Cossike-Zahlen) nennt. Anstelle von bestimmten Zahlen wie 28 oder ⅗ sind Cossike-Zahlen symbolische Darstellungen von Variablen, die allgemeine mathematische Aussagen ermöglichen und manipuliert werden können. Aus heutiger Sicht sind Cossike-Zahlen die erste Einführung der Algebra im englischen Sprachraum. Auf einer grundlegenderen Ebene stellt The Whetstone of Witte auch die erste Einführung von Symbolen für Addition (+) und Subtraktion (–) in der englischen Sprache dar. Darüber hinaus führt Recorde, um «die mühsame Wiederholung dieser Worte zu vermeiden: ‚ist gleich‘», ein weiteres Symbol ein: «[zwei] Linien gleicher Länge. . . weil keine zwei Dinge gleicher sein können.» Er gibt seinem Symbol eine eigene Abbildung und schafft damit das wohl bekannteste und wichtigste Symbol der modernen Mathematik, wenn auch in etwas verlängerter Form.

In dieser Darstellung oben sind die neuen Symbole in Aktion zu sehen. Hier sind die Zahlen 14, 15 und 71 deutlich zu erkennen, ebenso wie das Zeichen + . Die Punkte bezeichnen den Anfang und das Ende einer Zahl. Die übrigen Symbole werden von Recorde in seinem Buch definiert.

«Der» talentierte Monsieur Le Blanc
1827: Der Satz von Sophie Germain

1804 nahm Johann Carl Friedrich Gauß Kontakt zu einem «Monsieur Le Blanc» auf, dessen tiefes Verständnis für die Themen aus den Disquisitiones Arithmeticae ihn beeindruckte. Nach einem regen Briefwechsel, in dem Gauß Le Blancs Zahlentheoriebeweise lobte (und sie sogar in Briefen an andere Mathematiker erwähnte), stellte sich heraus, dass Monsieur Le Blanc in Wirklichkeit Sophie Germain war.

Germain war Autodidaktin und hatte sich das Wissen aus Büchern in der Bibliothek ihres Vaters angeeignet, obwohl ihre Eltern ihr Studium nicht guthießen. Als 1794 die École Polytechnique in Palaiseau eröffnet wurde, lieh sie sich den Namen eines Studenten, der kurzzeitig dort studiert hatte und dann abgegangen war, eines gewissen Antoine-Auguste Le Blanc; so konnte sie die Schwierigkeit umgehen, dass Frauen nicht zugelassen waren. Sie nutzte öffentlich zugängliche Vorlesungsskripte und schickte ihre Arbeiten an einen Professor der Polytechnique, Joseph-Louis Lagrange (1736–1813), der von ihrer Arbeit beeindruckt war und um ein Treffen mit Le Blanc bat, woraufhin Germain ihre Identität preisgab. Lagrange wurde daraufhin ihr Mentor.

1798 nahm Germain nach der Veröffentlichung ihres Essai sur la Théorie des Nombres («Essay über die Zahlentheorie») Kontakt zu Adrien-Marie Legendre (1752–1833) auf. Germain korrespondierte mit anderen Mathematikern und veröffentlichte sogar auf eigene Kosten einen Aufsatz, wodurch sie als erste Frau einen Preis der Pariser Akademie der Wissenschaften erhielt. Dies geschah trotz der damaligen Vorurteile, die einer Frau, die Mathematik studieren oder gar darin forschen wollte, zahlreiche Hindernisse in den Weg legten. Dieser Aufsatz, Recherches sur la Théorie des Surfaces Élastiques (etwa: Forschungen zur Theorie elastischer Flächen), wurde 1821 veröffentlicht, und ein weiteres Werk über Elastizität, Mémoire sur la Courbure des Surfaces (etwa: Abhandlung über die Krümmung von Flächen), erschien posthum 1831.

Es ist jedoch umstritten, ob ihre einflussreicheren Arbeiten nicht in Veröffentlichungen von Legendre enthalten waren. Ein Beispiel hierfür ist der sogenannte Satz von Sophie Germain. Er bezieht sich auf die Teilbarkeit von Lösungen für Gleichungen der Form an + bn = cn, wobei n eine Primzahl (außer 2) ist.

Dies kann als Sonderfall des letzten Satzes von Fermat angesehen werden, und Germain nutzte ihren Satz tatsächlich, um einige Aspekte dieses Satzes zu beweisen. Legendre nahm Sophie Germains Theorem in eine Fußnote seiner Abhandlung über Zahlentheorie auf und verwendete es, um Fermats letzten Satz für den speziellen Fall n = 5 zu beweisen. Germain leistete damit einen wesentlichen Beitrag zur Lösung eines mathematischen Problems, das bis dato seit fast zweihundert Jahren ungelöst war und auf Arbeiten beruhte, die mehr als 1500 Jahre zuvor begonnen worden waren.

Nichts ist «perfekt»
1982: The Fractal Geometry of Nature

Die Geometrie, die Lehre von Formen und deren Eigenschaften, ist einer der ältesten Zweige der Mathematik. Ein immer wieder vorgebrachter Kritikpunkt ist jedoch, dass die Perfektion der Geometrie – die perfekte Glätte von Kreisen und Kugeln, die Einfachheit von Polygonen und Polyedern – immer nur eine Annäherung an die chaotische, verworrene, klumpige und holprige reale Welt sein kann.
In seinem 1982 erschienenen Buch The Fractal Geometry of Nature erkannte der französisch-amerikanische Mathematiker Benoît Mandelbrot (1924–2010) dies an: «Wolken sind keine Kugeln, Berge keine Kegel, Küstenlinien keine Kreise. Die Baumrinde ist nicht glatt – und auch der Blitz bahnt sich seinen Weg nicht gerade.»

Mandelbrot wurde 1924 in Polen geboren und kam durch den Privatunterricht seines Onkels Szolem Mandelbrojt (1899–1983), der später Professor für Mathematik am Collège de France wurde, zur Mathematik. 1936 emigrierte seine Familie nach Frankreich. Dies und der Ausbruch des Zweiten Weltkriegs führten zu enormen Problemen bei seiner Ausbildung. Abgesehen von gelegentlichen Schulbesuchen war er weitgehend Autodidakt. Doch gerade dieser unkonventionellen Ausbildung schrieb Mandelbrot einen Großteil seines Erfolgs zu, da er eine sehr persönliche Beziehung zur Mathematik entwickeln konnte, die von einer starken Intuition für Geometrie geprägt war. Nach seinem Studium an der École Polytechnique wurde er promoviert und verbrachte ein Jahr am Institute for Advanced Study in Princeton (USA), wo er von John von Neumann gefördert wurde. Er kehrte 1955 nach Frankreich zurück, kam jedoch mit dem Stil der dortigen Mathematikforschung nicht zurecht, weshalb er 1958 dauerhaft in die USA zog, wo er eine Stelle bei IBM annahm. In dieser Position hatte er die Freiheit, die er beiseiner Forschung brauchte, und er blieb 35 Jahre lang dort. Sich selbst bezeichnete er als «umherwandernden Wissenschaftler».
In den 1970er-Jahren kehrte er zu einem Artikel zurück, den ihm sein Onkel 1945 gezeigt hatte. Dieser befasste sich mit mathematischen Objekten, die als Julia-Mengen (benannt nach ihrem Entdecker Gaston Julia (1893–1978)) bekannt sind. Er fühlte sich zu weiteren Untersuchungen motiviert. Julia-Mengen können geometrisch untersucht werden und besitzen eine merkwürdige Eigenschaft: Je mehr man beispielsweise die Grenze eines Kreises vergrößert, desto gerader sieht sie aus. Man erreicht ziemlich schnell einen Punkt, an dem die Krümmung nicht mehr erkennbar ist. Wenn man dasselbe jedoch mit der geometrischen Darstellung der meisten Julia-Mengen macht, kommt man niemals zu dem Punkt, an dem der Rand geradlinig oder auch nur glatt aussieht.
1975 prägte Mandelbrot den Begriff «fraktal», um solche Strukturen zu beschreiben, und veröffentlichte seine bisherigen Arbeiten in Les Objets Fractals: Forme, Hasarde et Dimension. Im Jahr 1979 beschrieb Benoît Mandelbrot die nach ihm benannte Mandelbrot-Menge, die als Prototyp aller Julia-Mengen betrachtet werden kann, und entwickelte die Idee der fraktalen Strukturen weiter, einschließlich ihrer Anwendung zum Verständnis der Rauheit in der Natur. Seine Fraktale weisen nicht nur auf jedem Maßstab eine solche Rauheit auf, sondern zeigen auch Selbstähnlichkeit: Beim Vergrößern scheint eine größere Struktur aus winzigen (manchmal verzerrten) Kopien ihrer selbst zu bestehen, die wiederum aus winzigen Kopien ihrer selbst bestehen. Dieses Merkmal hatte er bereits in einer früheren Arbeit, die 1967 veröffentlicht wurde, in natürlichen Strukturen der realen Welt wie Küstenlinien und Wolken festgestellt.

Mandelbrots unkonventionelle mathematische Ausbildung und seine anschließende Karriere, die ebenfalls nicht dem üblichen Weg folgte, ermöglichten es ihm wohl, Zusammenhänge zu sehen, die bis dato niemand anderes hergestellt hatte. Andere Mathematiker hatten ähnliche Objekte beschrieben und Aspekte der fraktalen Geometrie erkannt, aber sie blieben isolierte Einzelresultate in der breiteren mathematischen Forschung. Ähnlich wie einige der hier bereits vorgestellten Mathematiker brachte er diese unterschiedlichen Ideen zusammen und verband sie mit seiner eigenen Forschung, um den Rahmen zu schaffen, der in Die fraktale Geometrie der Natur veröffentlicht wurde. Dieser Rahmen ist zwar nicht intuitiv, aber auf geradezu unheimliche Weise mit der natürlichen Welt verbunden.

Man findet Anwendungen von Mandelbrots Arbeit in Bereichen wie Biologie, Klimawissenschaft, Chaostheorie und Kosmologie, aber sie beschränken sich nicht auf natürliche Phänomene. Die fraktale Geometrie wurde auch schon verwendet, um glaubhafte digitale Versionen natürlicher und physiologischer Umgebungen für Filme, Computerspiele und die medizinische Forschung zu kreieren. Selbst für das Geschehen an der Börse konnte sie als relevant nachgewiesen werden.